[파이썬 통계] 사건과 조건부확률 & 확률분포 응용하는 법!

사건과 확률에 대한 용어와 개념, 조건부 확률과 독립의 개념을 배우고
확률분포까지 확장하여 응용하는 법을 학습해보자!

 

 

1. 사건과 확률의 개념

1) 확률

여러 가능한 결과 중 하나 혹은 일부가 일어날 가능성으로 0과 1 사이의 값으로 정의
ex) 동전을 던지는 사건에 대해 앞면이 나올 확률 0.5

# 확률의 용어
 - 실험(Experiment) or 시행(Trial)
  : 여러 가능한 결과 중 하나가 일어나도록 하는 행위 (ex, 주사위를 1번 던짐)
 - 표본공간(Sample Space)
  : 실험에서 나타날 수 있는 모든 결과들을 모아둔 집합 (ex, 1~6의 눈)
 - 사건(Event)
  : 표본공간의 일부분(부분집합) 사건 A가 일어날 확률; P(A), or Pr(A) (ex, 1의 눈, 짝수가 나올 확률)

# 확률의 추출 방법
 1) 복원 추출
  : 모든 시행에서 똑같은 상황으로 시행하는 방법
    ex) 주머니에서 공을 꺼내 확인한 후, 다시 넣고 다음 공을 꺼내기

 2) 비복원 추출
  : 앞의 시행이 다음 시행에 영향을 주는 방법
    ex) 주머니에서 공을 꺼내 확인한 후, 다시 넣지 않고 다음 공 꺼내기

2) 경우의 수

먼저 '경우의 수'란 표본공간에서 사건 A가 발생할 확률을 의미한다.
→ P(A) = (A에 속하는 결과의 수 / 총 가능한 결과의 수)

※ 사건 A의 확률을 정의하기 위해서는 A에 속하는 결과의 수 파악이 필요하다
 : 사건의 원소 개수(사건에 속하는 결과의 수)
 = 1회 시행에서 일어날 수 있는 사건의 가짓수 = 사건의 경우의 수

- A와 B의 합사건은 'A or B', 곱사건은 'A and B'라고 표기하기도 한다.

# 합의 법칙
 - 두 사건 A와 B가 일어나는 경우의 수가 각각 m과 n일 때, 
  A와 B는 동시에 일어나지 않고, A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 'm+n'이 된다.

# 곱의 법칙
 - 두 사건 A와 B가 동시에 또는 잇달아 일어나는 경우, 'mxn'이 된다.

3) 팩토리얼(!)

팩토리얼이란, 1부터 어떤 양의 정수 n까지의 정수를 모두 곱한 것
→ 0! = 1, 1! = 1, n! = n * (n-1)!
  ex) 4명의 학생을 순서대로 세우는 경우의 수는 4!

 

# 팩토리얼(!) 함수
def fac(n):
    if n == 0:
    	return 1
    if n == 1:
    	return 1
    else:
    	return n * fac(n-1)
        
# 실행 테스트
print(fac(4))					# 24
print(fac(5))					# 120

4) 확률의 정리

# 공리
 : 증명을 필요로 하지 않거나 증명할 수 없지만, 직관적으로 자명한 진리의 명제 (다른 명제의 전제)
  → 항상 참으로 받아들여지는 명제

  Example)
  → 어떤 확률(P(A)도 0보다 작거나 1보다 클 수 없다.
  → 전체 표본공간, 즉 모든 확률의 합은 1이다.

 

[ 확률의 3가지 케이스 ]

 

2. 순열과 조합

1) 순열 (permutation)

순열은 서로 다른 n개의 원소를 일렬로 배열하는 방법을 의미한다. (순서가 중요)

# 순열 코드
from itertools import permutations
list(permutations([n], k))

위의 'permutations' 함수를 통해서 순열을 계산할 수 있다.
[] 안에 서로 다른 n개의 원소를 주고, 이 원소들 중 k개를 순서를 고려하여 뽑는 경우의 수 계산

# 예제 - 경품 추첨

수강생들을 대상으로 경품 추첨을 하게 되었다. 참가한 학생은 6명이고, 이 중 2명에게만 상품을 주려고 한다. (등수마다 경품이 다르다) 이 때, 경우의 수와 그 갯수를 코드로 확인해보자
→ 파이썬 itertools 모듈에 있는 permutations 함수 사용하여 순열 계산하시오

 

from itertools import permutations
from itertools import combinations

# 순열 계산 
# 6명의 수강생 중 2명에게 순위별 상품을 주는 경우의 수
rank_per = list(permutations(["가", "나", "다", "라", "마", "바"], 2))
rank_per_num = len(rank_per)

print("경우의 수 :")
print(rank_per, "\n")
print("경우의 수의 가짓수 :")
print(rank_per_num)

 

[ 실행 결과 ]

2) 조합 (combination)

조합은 서로 다른 n개의 원소에 대해 k개를 순서에 상관없이 선택하는 방법

 

# 조합 코드
from itertools import combinations
list(combinations([n], k))

조합은 itertools 모듈 내 combinations 함수를 통해서 구할 수 있다.
[] 안에 서로 다른 n개의 원소를 주고, 이들 중 k개를 순서를 고려하지 않고 뽑는 경우의 수를 계산

# 예제 - 경품 추첨

위의 순열을 구했던 동일한 예제로 이번에는 조합을 구해보자
→ itertools 모듈에 있는 combinations 함수를 사용하시오

 

from itertools import permutations
from itertools import combinations

# 조합 : 6명 수강생 중 2명에게 순위 상관없이 상품을 주는 경우의 수
rank_com = list(combinations(["가", "나", "다", "라", "마", "바"], 2))
rank_com_num = len(rank_com)

print("경우의 수 :")
print(rank_com, "\n")
print("경우의 수의 가짓수 :")
print(rank_com_num)

 

[ 실행 결괴 ]

3) 중복순열

중복순열은, 중복을 허용하여 서로 다른 n개의 원소 중에서 r개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우
ex) a, b 중에서 중복을 허용하여 3개를 뽑아 배열하는 경우 = 8개

 

# 중복순열 코드
from itertools import product
list(product([n], repeat = k))

[] 안에 서로 다른 n개의 원소를 주고, 이 원소들 중 k개를 중복을 허용하면서 순서를 고려하여 뽑는 경우의 수를 계산

# 예제 - 비밀번호 변경

비밀번호를 바꾸려고 합니다. A부터 E까지의 알파벳 5개 중 하나씩을 뽑아서 3자리의 비밀번호를 만든다고 하면, 이에 대한 경우의 수는 몇 가지인지 계산하시오. (중복해서 비밀번호를 입력할 수 있음)
→ product 함수를 사용하여 중복순열로 계산!

 

from itertools import product
from itertools import combinations_with_replacement

# 중복 순열
re_per = list(product(["A", "B", "C", "D", "E"], repeat=3))
re_per_num = len(re_per)

print("경우의 수 :")
print(re_per, "\n")
print("경우의 수의 가짓수 :")
print(re_per_num)

 

[ 실행결과 ]

4) 중복조합

중복조합은, 중복을 허용해서 서로 다른 n개의 대상 중 r개를 순서를 고려하지 않고 뽑는 경우를 말한다.
ex) 집합 S = {1,2,3,4}에서 중복을 허용하여 3개의 원소를 뽑는 경우

 

# 중복조합
from itertools import combinations
list(combinations_with_replacement([n], k))

[] 안에 서로 다른 n개의 원소를 주고, 이들 중 k개를 순서를 중복을 허락하여 순서를 고려하지 않고 뽑는 경우의 수

# 예제 - 비밀번호 변경

중복순열에서 수행했던 동일한 상황에서 중복조합으로 구해보자
- re_com : 순서를 고려하지 않고 5가지 중 3개를 중복이 가능하게 뽑는 경우의 수
- re_com_num : 're_com'의 경우의 수가 몇 가지인지 계산

 

from itertools import product
from itertools import combinations_with_replacement

# 중복조합
re_com = list(combinations_with_replacement(["A", "B", "C", "D", "E"], 3))
re_com_num = len(re_com)

print("경우의 수 :")
print("re_com, "\n")
print("경우의 수의 가짓수 :")
print(re_com_num)

 

[ 실행 결과 ]

 

 

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3. 조건부 확률과 독립

1) 조건부 확률

조건부확률은, 어떤 사건에 대한 정보가 주어졌을때 특정한 사건의 확률을 구하는 경우를 말한다.
다른 사건에 대한 정보를 이용하여 확률을 구하기 때문에 기존의 확률과 달라질 수 있다.

# 기존의 확률
 : 확률 = (구하려는 사건의 경우의 수) / (전체 경우의 수)

# 조건부 확률
 : 조건부확률 = (구하려는 사건이 일어날 확률) / (정보가 주어진 사건의 확률)

위의 표처럼 수강생 30명에 대한 응답에서 임의로 학생 1명을 선택할 경우, 

1) 선택된 학생의 응답이 A일 확률 (일반 확률)
 : 전체 학생이 30명, A응답 학생이 15명이므로 15/30 (=1/2)가 된다. 

2) 여학생을 선택했을 때 응답이 A일 확률 (조건부확률)
 : 여학생 수는 12명, A응답 여학생이 5명이므로 확률은 5/12가 된다.

2) 독립

독립이란, 일반적으로 두 사건은 서로 연관성이 없는 경우를 말한다.
ex) 동전을 2번 던졌을 때, 앞면이 2번 나오는 사건(A)과 앞면이 1번 나오는 사건(B)는 서로 독립이라고 볼 수 있다.

 

조건부 확률은 두 사건의 '연관성'에 따라 달라진다.

[ 조건부확률 - 두 사건의 연관성 ]

두 사건 A와 B가 서로 독립이라면, 사건 B가 A의 확률에 영향을 주지 않는다!
→ 아래 계산식이 성립된다. 

[ 독립일 경우 계산식 ]

 

4. 확률 분포

1) 확률 분포 

# 확률 변수 
: 각각의 근원사건에 실수값을 대응시킨 함수 (X, Y .. 등)
 → 시행 전에 어떤 값을 갖게 될지 알 수 없음. 실제측정값들은 소문자로 표시 x, y 등
 → P(X=x1) : 확률변수 X가 x1일 확률

# 확률 분포
: 확률변수가 가질 수 있는 값들은 무엇이고, 그 값을 가질 가능성(=확률)이 어떻게 분포되어 있는지를 0 이상의 실수로 나타낸 것을 말한다.

2) 이산 확률 분포

# 이산확률변수
 : 확률변수의 값의 개수를 셀 수 있는 경우. 각각의 값들이 떨어져서 분포됨 (ex, 1, 2, 3 등)

[ 이산확률분포 ]

 f(x1) = P(X=x1)
 : 확률변수 X가 x1이 되는 확률

※ 모든 확률을 더하면 '1'이 된다.

[ 이산확률분포 ]

2-1) 확률질량함수

어떤 확률변수 x가 갖는 확률을 나타내는 함수로, 이산 확률 분포에서 사용됨.
y = f(x) : x가 갖는 확률은 y이다. ex) P(X=0) = ?

→ 어떤 경우에도 0 이상이고 1 이하의 값을 가지고, 모두 더하면 1이 된다. 

 

3) 연속 확률 분포

# 연속확률변수
 : 확률변수의 값이 연속적인 구간에 속하는 경우. (ex, 몸무게 측정 구간)
 → 특정 x값에 대한 확률은 항상 0이므로( f(x) = 0 ), 특정 구간(a~b)에서 적분한 값으로 확률을 구한다.

[ 확률 밀도 함수의 조건 ]

[ 평균과 표준편차가 다른 정규분포 ]

mu (μ) : 평균, sigma : 표준편차 
→ 평균이 0, 표준편차가 1인 분포가 표준정규분포

3-1) 확률밀도함수

연속확률변수 X가 갖는 확률의 분포를 표현한 것
→ 어느 구간의 확률이 더 크고 작은 지 나타낼 수 있는 함수. ex) P(0 ≤ X ≤ 1) = ?

4) 누적분포함수

X가 가질 수 있는 가장 작은 값부터 x까지 해당하는 확률질량함수의 값을 누적해서 더한 것
→ F(x) = P(X ≤ x)라고 표시

[ 연속형 누적분포함수 ]

[ 이산형 누적분포함수 ]